線形代数の課題についての質問です。

Writer: admin Type: foresth Date: 2019-01-12 00:00
線形代数の課題についての質問です。分かる方がいらっしゃいましたら、解答よろしくお願い致します。###部分空間の定義通り示すしかないです.部分空間の定義DefinitionV:体K上の線形空間W⊂Vとする.WがVの部分空間であるとは,以下を満たすこと:[S0]:W≠∅[S1]:∀x,y∈W,x+y∈W[S2]:∀x∈W,∀a∈K,ax∈W.W⊂Vも暗に仮定されていることに注意しましょう.[S0]について,WがVの部分空間であるなら,Vの零ベクトル0は必ずWの元であるので,0∈Wを示せば十分です.ProofW⊂Vである.[S0]0∈Wを示せばいい.0はℝ上の無限回微分可能な関数なので,0∈V.また,d²0/dx²+2*d0/dx+0=0+2*0+0=0.よって,0∈W.//[S1]f,g∈Wとする.f,g∈Vであり,d²f/dx²+2*df/dx+f=0,d²g/dx²+2*dg/dx+g=0.f,g∈Vより,f+g∈V.また,d²(f+g)/dx²+2*d(f+g)/dx+(f+g)=(d²f/dx²+d²g/dx²)+2*(df/dx+dg/dx)+(f+g)=(d²f/dx²+2*df/dx+f)+(d²g/dx²+2*dg/dx+g)=0+0=0.よって,f+g∈W.//[S2]f∈W,a∈ℝとする.f∈Vであり,d²f/dx²+2*df/dx+f=0.f∈V,a∈ℝより,af∈V.また,d²(af)/dx²+2*d(af)/dx+af=a*d²f/dx²+2*a*df/dx+af=a*(d²f/dx²+2*df/dx+f)=a*0=0.よって,af∈W.//以上により,WはVの部分空間.∎+α[S1]かつ[S2]は以下に同値です:[S4]∀x,y∈W,∀a,b∈K,ax+by∈W.同値であることが使えるなら,W⊂V,[S0],[S1],[S2]の4つを示す代わりに,W⊂V,[S0],[S4]の3つを示してもいいです.上の事実を使った別証明ProofW⊂Vが成り立つ.[S0]上と同様.//[S4]f,g∈W,a,b∈ℝとする.f,g∈Vであり,d²f/dx²+2*df/dx+f=0,d²g/dx²+2*dg/dx+g=0.f,g∈V,a,b∈ℝより,af+bg∈V.また,d²(af+bg)/dx²+2*d(af+bg)/dx+(af+bg)=(a*d²f/dx²+b*d²g/dx²)+2*(a*df/dx+b*dg/dx)+(af+bg)=(a*d²f/dx²+2*a*df/dx+af)+(b*d²g/dx²+2*b*dg/dx+bg)=a*(d²f/dx²+2*df/dx+f)+b*(d²g/dx²+2*dg/dx+g)=a*0+b*0=0.よって,af+bg∈W.//以上により,WはVの部分空間.∎ナイス0
###返信遅れて申し訳ありません。解答本当にありがとうございます。参考にさせて頂きます。

 

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